با توجه به اینکه مجموعه‌ی عددهای حقیقی تمام عددها را شامل می‌شود، مجموعه‌های زیر را مانند نمونه روی محور نشان دهید:
(مثال برای $A = \{x \in \mathbb{R} | ۲ \leq x < ۳\}$)
با توجه به مجموعه‌ی A چرا نقطه‌ی ۲ روی محور توپر و نقطه‌ی ۳ روی محور توخالی است؟
$B = \{x \in \mathbb{R} | x < -۲\}$
$C = \{x \in \mathbb{R} | -۱ \leq x \leq ۵\}$
$D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq ۶\}$
پاسخ تشریحی:
**پاسخ به سوال:**
نقطه‌ی ۲ روی محور **توپر** است زیرا علامت نامساوی $ \leq $ (کوچکتر یا مساوی) نشان می‌دهد که خود عدد ۲ **جزو مجموعه است**. نقطه‌ی ۳ روی محور **توخالی** است زیرا علامت نامساوی $ < $ (کوچکتر) نشان می‌دهد که اعداد تا نزدیک ۳ در مجموعه هستند، ولی خود عدد ۳ **جزو مجموعه نیست**.
---
**نمایش مجموعه‌ها روی محور:**
* **مجموعه‌ی $B = \{x \in \mathbb{R} | x < -۲\}$:**
این مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی کوچکتر از ۲- است. روی محور، یک دایره‌ی **توخالی** در نقطه‌ی ۲- رسم کرده و یک شعاع به سمت چپ (اعداد کوچکتر) می‌کشیم.
* **مجموعه‌ی $C = \{x \in \mathbb{R} | -۱ \leq x \leq ۵\}$:**
این مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی بین ۱- و ۵، به همراه خود این دو عدد است. روی محور، یک دایره‌ی **توپر** در نقطه‌ی ۱- و یک دایره‌ی **توپر** دیگر در نقطه‌ی ۵ رسم کرده و بین این دو نقطه یک پاره‌خط ممتد می‌کشیم.
* **مجموعه‌ی $D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq ۶\}$:**
این مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی بزرگتر یا مساوی ۶ است. روی محور، یک دایره‌ی **توپر** در نقطه‌ی ۶ رسم کرده و یک شعاع به سمت راست (اعداد بزرگتر) می‌کشیم.
۱- مجموعه‌های زیر را روی محور نشان دهید و یا با توجه به محور، مجموعه‌ی متناظر آن را بنویسید:
الف) $A = \{x \in \mathbb{R} | x > -۱\}$
ب) (نمودار محور اعداد داده شده) $B = \{\dots\}$
ج) $C = \{x \in \mathbb{R} | x \leq ۲\}$
پاسخ تشریحی:
این تمرین به نمایش مجموعه‌های اعداد حقیقی روی محور اعداد می‌پردازد.
**الف) نمایش مجموعه‌ی $A = \{x \in \mathbb{R} | x > -۱\}$**
* **توضیح:** این مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی **بزرگتر از ۱-** است. خود عدد ۱- شامل مجموعه نیست.
* **نمایش روی محور:** یک دایره‌ی **توخالی** روی نقطه‌ی ۱- قرار می‌دهیم و از آن نقطه، یک شعاع (پیکان) به سمت راست (به سمت اعداد مثبت) تا بی‌نهایت رسم می‌کنیم.
**ب) نوشتن مجموعه‌ی متناظر با محور**
* **توضیح:** محور نشان‌داده شده، یک پاره‌خط ممتد بین نقاط ۲- و ۳ است. دایره‌ها در هر دو انتها **توپر** هستند، به این معنی که خود اعداد ۲- و ۳ نیز شامل مجموعه می‌شوند.
* **مجموعه:** این نمایش مربوط به تمام اعداد حقیقی بین ۲- و ۳، به انضمام خود این دو عدد است. به زبان ریاضی:
$B = \{x \in \mathbb{R} | -۲ \leq x \leq ۳\}$
**ج) نمایش مجموعه‌ی $C = \{x \in \mathbb{R} | x \leq ۲\}$**
* **توضیح:** این مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی **کوچکتر یا مساوی ۲** است. خود عدد ۲ شامل مجموعه هست.
* **نمایش روی محور:** یک دایره‌ی **توپر** روی نقطه‌ی ۲ قرار می‌دهیم و از آن نقطه، یک شعاع به سمت چپ (به سمت اعداد منفی) تا بی‌نهایت رسم می‌کنیم.
۲- با توجه به سه مجموعه A و B و C در سوال ۱، عبارات درست را با علامت ✓ مشخص کنید:
$ \sqrt{۱۳} \in A $
$ ۰/۲۵۲۵۵۲۵۵۵... \in B $
$ ۰/۷۵ \in A $
$ -۱۰۰۰ \in C $
$ \sqrt{۱} \in A $
$ \sqrt{۷} \in C $
پاسخ تشریحی:
ابتدا مجموعه‌های سوال ۱ را یادآوری می‌کنیم:
$A = \{x \in \mathbb{R} | x > -۱\}$
$B = \{x \in \mathbb{R} | -۲ \leq x \leq ۳\}$
$C = \{x \in \mathbb{R} | x \leq ۲\}$
حالا هر عبارت را بررسی می‌کنیم:
* **$ \sqrt{۱۳} \in A $ (✓ درست):**
مقدار تقریبی $ \sqrt{۱۳} \approx ۳.۶ $ است. چون $۳.۶ > -۱$ است، این عبارت درست است.
* **$ ۰.۲۵۲۵۵۲۵۵۵... \in B $ (✓ درست):**
این عدد یک عدد گنگ و تقریباً برابر ۰.۲۵ است. چون $-۲ \leq ۰.۲۵ \leq ۳$ است، این عبارت درست است.
* **$ ۰.۷۵ \in A $ (✓ درست):**
چون $۰.۷۵ > -۱$ است، این عبارت درست است.
* **$ -۱۰۰۰ \in C $ (✓ درست):**
چون $-۱۰۰۰ \leq ۲$ است، این عبارت درست است.
* **$ \sqrt{۱} \in A $ (✓ درست):**
$ \sqrt{۱} = ۱ $. چون $۱ > -۱$ است، این عبارت درست است.
* **$ \sqrt{۷} \in C $ (× نادرست):**
مقدار تقریبی $ \sqrt{۷} \approx ۲.۶۴ $ است. چون $۲.۶۴$ کوچکتر یا مساوی ۲ **نیست** ($۲.۶۴ \not\leq ۲$)، این عبارت نادرست است.
۳- کدام یک از مجموعه‌های زیر با مجموعه‌ی نقاط روی شکل زیر، برابر است؟
(نمودار یک بازه‌ی باز بین ۲- و ۳ روی محور اعداد)
الف) $ \{-۱, ۰, ۱, ۲, ۳\} $
ب) $ \{x \in \mathbb{R} | x > -۲\} $
ج) $ \{x \in \mathbb{R} | -۲ < x < ۳\} $
پاسخ تشریحی:
ابتدا شکل را تحلیل می‌کنیم: شکل، یک پاره‌خط روی محور اعداد را نشان می‌دهد که از نقطه‌ی **۲-** شروع شده و تا نقطه‌ی **۳** ادامه دارد. دایره‌های روی این دو نقطه **توخالی** هستند، که به معنای **عدم شمول** این دو نقطه در مجموعه است. خط بین آنها ممتد است که نشان‌دهنده‌ی تمام اعداد **حقیقی** در این فاصله است.
بنابراین، شکل نمایش‌دهنده‌ی «مجموعه‌ی تمام اعداد حقیقی بین ۲- و ۳» است.
حال گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم:
* **الف) $ \{-۱, ۰, ۱, ۲, ۳\} $:** این مجموعه فقط شامل چند عدد **صحیح** است، در حالی که شکل تمام اعداد حقیقی (شامل اعشاری و گنگ) را نشان می‌دهد. پس این گزینه **نادرست** است.
* **ب) $ \{x \in \mathbb{R} | x > -۲\} $:** این مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی بزرگتر از ۲- است و تا بی‌نهایت ادامه دارد (یک شعاع است). اما شکل در نقطه‌ی ۳ متوقف شده است. پس این گزینه **نادرست** است.
* **ج) $ \{x \in \mathbb{R} | -۲ < x < ۳\} $:** این مجموعه دقیقاً «تمام اعداد حقیقی بزرگتر از ۲- و کوچکتر از ۳» را تعریف می‌کند که کاملاً با شکل مطابقت دارد. پس این گزینه **درست** است.
